miércoles, 23 de septiembre de 2009

EJERCICIOS DE LA UNIDAD 1




2.4 METODOS DE SOLUCION DE GAUSS-JORDAN




2.3 TIPOS DE SOLUION E INTERPRETACION GEOMETRICA

Métodos de resolución
Sustitución
El metodo de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.
Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y podemos obtener el valor de la incógnita , y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales, obtener el valor de la , que además ya se encuentra despejada.
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.
Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a .

2.2 CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE ECUASIONES LINEALES

Tipos de sistemas
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
• Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
• Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
o Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
o Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Sistemas compatibles indeterminados
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersectan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
• En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
• Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):

• De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.
Sistemas incompatibles
De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

2.1 DEFINICION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
En matemática y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

viernes, 11 de septiembre de 2009

ejemplos de "diferencia de cubos"


1.6 ECUACIONES POLINOMICAS

1.6 ECUACIONES POLINOMICAS

Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. También se cumple que si z es una raíz entonces su conjugado también es una raíz del polinomio p. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

ejemplos de raizes



ejemplos de potencias

ejemplos de la forma polar desarrolladas

ejemplos de la forma polar

1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCION DE RAIZES DE NUMERO COMPLEJO

1.5 TEOREMA DE MOIVRE

FÓRMULA DE MOIVRE

Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada Fórmula de Moivre:
(cos a + i sen a)n = cos na + i sen na
que es útil en trigonometría, pues permite hallar cos na y sen na en función de sen a y cos a.
Esta igualdad recibe el nombre de fórmula de Moivre, en honor del matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).
Potencia
La potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma que la de multiplicar.
El módulo se eleva a n
El argumento se multiplica por n

Radicación de Números Complejos

La operación de radicación es inversa a la de potenciación
Para un único número complejo zn , existen varios complejos z, que al elevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo zn.
Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.
Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que:

Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a'

Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k se le suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2, 3, ..., n-1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n raíces.


Raíz Cuadrada

Vamos a hallar :
Primero pasamos z=4+3i a forma polar:
z = 4+3i = 536.9º
La raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 2.
Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son:
Si k=0 --> z1=18.4º
Si k=1 --> z2=198.4º
Si le seguimos dando valores a k = 2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia.
Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver como quedan los vectores, tanto de z como de z1 y z2


Raíz Cúbica

Primero pasamos z = 2+4i a forma polar: z = 2+4i = 4.563.4º
La raíz cúbica de z, tendrá de módulo la raíz cúbica del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 3.
Las tres soluciones de esta raíz cúbica son:
Si k=0 --> z1=1.621.1º
Si k=1 --> z2=1.6141.1º
Si k=2 --> z3=1.6261.1º

ejemplos de la forma exponencial

ejemplos de la forma polar

1.4 forma polar y exponencial de numeros complejos

1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NUMERO COMPLEJO

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

Se puede representar un número complejo cualquiera z = a +bi en forma polar, dando su módulo y su argumento. Esta forma tambien se llama forma trigonométrica.

MÓDULO de un número complejo z es la longitud del vector que lo representa.
|z| = r
ARGUMENTO de un complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real.
arg(z) = a
Por lo cual z = r (cos ð + isen ð )

Numeros Complejos en Forma Forma Binómica
Forma binómica z = a + bi

 Operaciones con Numeros Complejos en Forma Polar

Multiplicación
Se multiplican los módulos
Se suman los argumentos

División
Se dividen los módulos
Se restan los argumentos

Potencia
La potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma que la de multiplicar.
El módulo se eleva a n
El argumento se multiplica por n

 Forma Exponencial o de Euler.

Hay una última forma de expresar un número complejo, es la Forma Exponencial.
Un número complejo en forma polar se expresa como z = r(cosa + i sena). Si sustituimos el contenido del paréntesis por la igualdad de Euler:
eia = cosa + isena
Nos queda
z = r•eia.

miércoles, 2 de septiembre de 2009

martes, 1 de septiembre de 2009

Tema 1.2

Tema 1.2 Operaciones Fundamentales Con Numeros Complejos

Unidad 1

Unidad 1.1 Definición y Origen de los Números complejos